An invariant of regular isotopy

Abstract

This paper studies a two-variable Laurent polynomial invariant of regular isotopy for classical unoriented knots and links. This invariant is denoted <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L_K}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for a link <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and it satisfies the axioms: 1. Regularly isotopic links receive the same polynomial. 2. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript left-bracket unk right-bracket Baseline equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>unk</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L_{[{\text {unk}}]}} = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. 3. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript left-bracket unk right-bracket Baseline equals a upper L comma upper L Subscript left-bracket unk right-bracket Baseline equals a Superscript negative 1 Baseline upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>unk</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>unk</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L_{[{\text {unk}}]}} = aL,\qquad {L_{[{\text {unk}}]}} = {a^{ - 1}}L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. 4. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript left-bracket unk right-bracket Baseline plus upper L Subscript left-bracket unk right-bracket Baseline equals z left-parenthesis upper L Subscript left-bracket unk right-bracket Baseline plus upper L Subscript left-bracket unk right-bracket Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>unk</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>unk]</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>unk]</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>unk]</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L_{[{\text {unk}}]}} + {L_{[{\text {unk]}}}} = z({L_{[{\text {unk]}}}} + {L_{[{\text {unk]}}}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Small diagrams indicate otherwise identical parts of larger diagrams. Regular isotopy is the equivalence relation generated by the Reidemeister moves of type II and type III. Invariants of ambient isotopy are obtained from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by writhe-normalization.